2007 年の column

リューヴィル級数: 0 < |a| < 1 なる任意の代数的数 a に対して Σn=1an! は超越数 。
n! の部分は limn→∞xn+1/xn = ∞ なる
任意の単調増加自然数列 xn に置き換えても OK.

PlanetMath

1/9801 =
0.0001020304050607080910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849
50515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939495969799
以下先頭からの (00をふくめて) 繰り返し。 98 が欠けている。

問題: a, b が無理数の時, ab が有理数となるような a, b の組を一つ求めよ。

両刀論法を用いた解: √2√2 が有理数だとすれば, √2 は無理数なので OK.
√2√2 が無理数だとすれば,
(√2√2)√2 = √22 = 2
だから, やはり存在する。

すべての偶数は, 高々 9 個の素数の積で現される 2 つの整数の差として無限通りに表すことが出来る (ヴィーゴ・ブルン, Brun, 1920).

定理[熊野光博]
α, β を π の整数倍ではない実数とする。 このとき, 0 でない実数 s, t, u が
s2 = t2 + u2, (sin(α + β))/s = (sin α)/t = (sin β)/u
を満たすならば α + β =  (2m + 1)π (m: 整数)
となる。

定理[大塚秀幸]:
正の定数 a1, ..., an に対し, 次の不等式が成立する。
a1/a2 + a2/a3 + … + an/a1 ≧ (a1 + a2)/(a2 + a3) + (a2 + a3)/(a3 + a4) + (an + a1)/(a1 + a2).

(上記二つは, NOTE, 数学セミナー (10), 2007 による)

Sunday, 30th September, 2007.


Cesaro 総和法
Sander Pieter Zwegers :Mock Theta-functions

ギリシャ語の “arithmos” は 2 以上の自然数のこと。 1 は “monos” である。

シェルピンスキー (1947) に拠れば, 一般連続体仮説から選択公理が導けるのだそうである。

数学研究ノート by Sugimoto

From: "S. Hahn"
Subject: weak ABC conjecture proved by Szpiro?

Proof of the abc Conjecture?

大田春外
大山陽介
加藤文元
河東泰之

Wednesday, 5th September, 2007.


8/(1 - 1/5) = 10.
超越数

Fourier series に於いて, 一様収束しないが各点収束する時に 「飛び」 が起こることを Gibbs 現象というが, Josiah Willard Gibbs が 1899 にこの現象を説明する以前に 1848 年に Henry Wilbraham (ウィルブラーム) がある程度解析を行っていたので, 正式には Gibbs-Wilbraham 現象と呼ぶのが正しいらしい。
Si(x) = ∫0x (sin t)dt/t と置く時, Si(π) (又は 2Si(π)/π) を Gibbs-Wilbraham constant と呼ぶことがある。
Gibbs-Wilbraham 現象は Fejér sum を採ると解消する。
Japanese Journal of Mathematics

The MacTutor History of Mathematics archive

日本数学会

RiSuPia

Sunday, 5th August, 2007.


複素多様体論 by 辻元
私は如何にして歴史家になったか by 林晋
David Hilbert’s Mathematical Notebooks
ダフィット・ヒルベルトの数学的格言集
Martin Fürer : Faster Integer Multiplication Algorithm

松岡正剛の千夜千冊
ISIS
特に 768 夜 (不思議の国のトムキンス)

Galois 理論の数値実験

Kindergarten Quantum Mechanics---lecture notes--- by Bob Coecke

傘型分割 (回転体の体積)

Ordinal Notation by Dmytro Taranovsky

64→28→68→76→50→(A)→2→4→16→38→70
(A)にあてはまる数字をだせ。

答え 10
規則: 10a + b → 2a + b2.
・2→4→16→38→70→14→[18→66→48→72]
・[6→36→42→12]
・8→64→28→76→50→10→2☆
・20→4☆ ・22→8☆ ・24→20☆ ・26→40→8☆
・30→6☆ ・32→10☆ ・34→22☆ ・36→42☆ ・38→70→14☆
・44→24☆ ・46→44☆ ・48→72☆
・52→14☆ ・54→26☆ ・56→46☆ ・58→74→30☆
・60→12☆ ・62→16☆ ・68→76→50☆
・[78]
・80→16☆ ・82→20☆ ・84→32☆ ・86→52☆ ・88→80☆
・90→18☆ ・92→22☆ ・94→34☆ ・96→54☆ ・98→82☆

偶数は周期が3つしかない。

96→54→26→40→8→64→28→76→50→10→2→4→16→38→70→14→[18→66→48→72]
この暗号問題解けますか?

Sunday, 15th July, 2007.


A Non-Free Stably Free Module by Keith Conrad
第一チェビシェフ多項式
HK 積分

n = tn-1 には n ≧ 3 なる整数解はない。 証明 (d3)
t = 1 には解がない。 よって t ≧ 2 とすると
n = tn-1 ≧ (1 + 1)n-1 > n-1C0 + n-1C1 = 1 + (n-1) = n. で矛盾。

関手の微積分について
複素多様体論 by 辻元

Monday, 4th June, 2007.


今日 Laguerre の多項式と知られているものは, 特殊な場合は確かに 1879--1880 頃に Laguerre によって研究されているが, 一般の場合のものは実は Sonin (Николай Яковлевич Сонин, N, Sonine, Recherches sur les fonctions cylindriques et le développement des fonctions continues en series, Math. Ann., 16, 1880, pp. 1 -- 80) によって研究されたものである。

無作為に選ばれた人から出発して, ゴールの人 (スタートの人は直接この人を知らないが, 名前, 職業, 居住地域等の情報は与えられる) に到達するように, 知人関係のみを頼りに手紙をリレーしていくと言う実験を, USA の心理学者ミルグラムが 1960 年に行った結果, 平均的には六人の鎖を介してスタートの人からゴールの人まで届いたという。

Mathematical Imagery by Jos Leys
Poincaré Conjecture by Grisha Perelman
Jon M. Kleinberg 氏の page

ni を整数としSk = Σi=1k ni と置く。
 ここで 1 ≦ i ≦ 2k-1, 1 ≦ j ≦ k とする。
δij を以下のように定義する。
(1) j = 1 のとき
i が奇数 ⇒ δij = 1
i が偶数 ⇒ δij = 0
(2) 1 < j < k のとき
1 ≦ i mod 2j ≦ 2j-2  ⇒ δij = 1
2j-2 < i mod 2j ≦ 2j - 2j-2 ⇒ δij = 0
2j - 2j-2 < i mod 2j ≦ 2j ⇒ δij = -1
(3) i = k のとき
1 ≦ i ≦ 2k-2 ⇒ δij = 0
2k-2 < i ≦ 2k-1 ⇒ δij = -1
 この時フィボナッチ数列を Fn と表せば
FSk = Σi=12k-1 Πj=1k Fnjij
が成り立つ。

Leonhard Euler の計算した連分数を幾つか。

Σn=1 (-1)n-1 xn/cn = x/(c1 + (c12x/((c2 - c1x) + c22x/((c3 - c2x) + …))))
log(1 + x) = x/(1 + x/((2 - x) + 22x/((3 - 2x) + 32x/((4 - 3x) + …)))), |x| ≦ 1
log 2 = 1/(1 + 12/(1 + 22/(1 + 32/(1 + …))))
1/log 2 = 12/(1 + 22/(1 + 32/(1 + …)))
Arctan x = x/(1 + x2/((3 - x2) + 32x2/((5 - 3x2) + 52x2/((7 - 5x2) + …))))
π/4 = 1/(1 + 12/(2 + 32/(2 + 52/(2 + …))))
4/π - 1 = 12/(2 + 32/(2 + 52/(2 + …)))
(π/n)cot(πa/n) = 1/(a + a2/((n - 2a) + (n - a)2/(2a + (n + a)2/((n - 2a) + (2n - a)2/(2a + (2n + a)2/((n - 2a) + …))))))
π/(3√3) = 1/(1 + 12/(1 + 22/(2 + 42/(1 + 52/(2 + …))))) (直ぐ上の式で n = 3, a = 1)
Σn=1 (-1)n-1xn/(c1c2…cn) = x/(c1 + c1x/((c2 - x) + c2x/((c3 - x) + …)))
1 - e-x = x/(1 + x/((2 - x) + 2x/((3 - x) + 3x/((4 - x) + …))))
(e - 1)/e = 1/(1 + 1/(1 + 2/(2 + 3/(3 + 4/(4 + …)))))
1/(e - 1) = 1/(1 + 2/(2 + 3/(3 + 4/(4 + …))))
π = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(292 + 1/(1 + …))))
から, 3/1, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, ... という近似分数列を得る。
平均太陽年 365 日 5 時間 48 分, 55 秒から
365 + 20935/86400 = 365 + 1/(4 + 1/(7 + 1/(1 + 1/(6 + 1/(1 + …)))))
(e - 1)/2 = 1/(1 + 1/(6 + 1/(10 + 1/(14 + 1/(18 + 1/(22 + …)))))) ≒ 0.8591409142..., 最初の 1 を除くと, その後の 6, 10, 14 は公差 4 の等差数列。
(e - 1)/(e + 1) + 1/(2 + 1/(6 + 1/(10 + 1/(14 + 1/(18 + 1/(22 + …))))))

Sunday, 11th March, 2007.


今日言う所の ζ(2) を求める問題というのはバーゼルの問題として知られていたらしい。 Leonhardt Euler が正解を与えたのは 1735 のことであるという。

Cauchy の剛性定理 (1812, 第二論文): 凸多面体は (鏡映を除いて) 合同である。 (固定していて動かすことが出来ないことを意味する)

サリヴァンの蛇腹予想 (1997 コネリー et al. 証明): 凹多面体の中には剛性のない, 動く多面体がある (1978 コネリーが構成) が, 動いている途中の体積は変化しない。

Divisor function
Encyclopaedia of Mathematics

π(n) = -1+Σj = 1n [(((j - 1)! + 1)/j) - [(j - 1)!/j]] とすると
n 番目の素数は
p(n)= 1 + Σm = 12n [[n/(1 + π(m))]^(1/n)]
だそうである。

Fresnel cosine integral
Pentakis dodecahedron
Goodstein’s theorem
Goodstein’s sequence
Paris-Harrington theorem
三平方の定理の証明色々
Andrew Wiles, Modular Elliptic Curves and Fermat’s Last Theorem の全文 (109 頁)
完全微分形微分方程式のくくり直し法 grouping method
WFF ‘N PROOF the game of modern logic (WFF とは well formed formulas のことだという)
三円柱の交差図
Central binomial coefficient
Terence Tao の page

△ABC の内部に mPA + nPB + lPC = 0 となる点 P を採ると, △PBC:△PCA:△PAB = m:n:l になる

規 (ぶんまわし) コンパスの和名。

パスカルの三角形という名前はピエール・レモン・ド・モンモールというフランスの数学者が名づけたらしい。

個々の data として割合が高いとしても, それらを統合した割合としては低くなる場合がある (学部毎の合格率と, それらを全部合わせたある大学への合格率等)。 これをシンプソンのパラドックスという。 出典は E. H. Sympson: Journal of the Royal Statistical Society, B, vol. 14, pp. 238--241, 1951.

Wednesday, 7th March, 2007.

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