.この年は没ったのが多かった上, 内容が難しいとか言われて, そんな事言ったって, そんなにいい題材がそうやたらとあるわけないでしょって言ってぶちきれた思い出があるなぁ (^_^;
Πr=1n-1sin(πr/n) = n/2n-1. (E. W. Hobson, A
Treatise on Plane & Advanced Trigonometry, 7th ed., Dover, New York. §90
& §188.)
証明:
de Moivre の定理から
x2n - 2xn cos 2nθ + 1
= (xn -(cos 2nθ + i sin 2nθ))(xn -(cos 2nθ - i sin 2nθ))
=
Πr=0n-1[(x - (cos 2(θ + rπ/n) + i sin 2(θ + rπ/n)))(x
- (cos 2(θ + rπ/n) - i sin 2(θ + rπ/n)))]
=
Πr=0n-1(x2 -2x cos 2(θ + rπ/n) + 1).
ここで x = 1 と置いて両辺を 2 で割ると 1 - cos 2nθ = 2n-1
Πr=0n-1(1 - cos 2(θ + rπ/n)).
∴sin2 nθ = 22(n-1)
Πr=0n-1 sin2 (θ + rπ/n).
従って今 0 < θ < π/(2n) とすると
sin nθ = 2n-1
Πr=0n-1 sin (θ + rπ/n).
∴Πr=1n-1 sin (θ + rπ/n) = sin nθ / (2n-1sin
θ).
ここで θ→0 とせよ。
m, n ∈ Z+⇒ Σk = 0n mnCmk
= (2mn / m) Σj = 0m-1(-1)jncosmn
(πj / m). (神保雅一, エレガントな解答を求む, 数学セミナー
(3), 1998)
証明:
ζ = exp(2πi/m) と置く。二項定理及び Σj = 0m-1ζj
= 0,
ζm = 1 より
Σj = 0m-1(1 + ζj)mn = Σj = 0m-1Σk = 0mnmnCkζjk
= mΣk = 0nmnCmk.
一方
(1 + ζj)m = (1 + cos(2πj/m) + i sin(2πj/m))m
= (2cos2(πj/m) + 2i sin(πj/m)cos(πj/m))m
= 2mcosm(πj/m)(cos(πj/m) + i sin(πj/m))m = 2mcosm(πj/m)×(-1)j.
これを先ほどの式の左辺に代入する。
f(x) ∈ R[x] & deg f(x) = n & ∀x(x ∈ R ⇒
f(x) ≧ 0) ⇒ Σk = 0n f(k)(x) ≧ 0.
証明:
(1) F(x) = Σk = 0n f(k)(x)
と置く。仮定より 2|n で, ∃x0(F(x0) = min F(x)).
従って 0 = F'(x0) = Σk = 0n f(k)(x0)
であるが, この式から F(x0) = f(x0) + F'(x0)
= f(x0) ≧ 0. よって F(x) ≧ F(x0) ≧ 0.
(2) [5th June 1984 by 星野敏司] 明らかに f(x)e-x ≧ 0.
従って
∫x∞f(x)e-x dx = [-(Σk = 0n f(k)(x))e-x]x∞
= (Σk = 0n f(k)(x))e-x ≧ 0.
Douglas
R. Hochstadter: Gödel, Escher, Bach:
an Eternal Golden Braid, Part 1. GEB Chapt. V. Recursive Structures and
Processes. —A Chaotic Sequence p.137 に出ている未解決の漸化式。(Hochstadter
数列) 数列を通常 an と書くところを a(n)
と書くことにして
a(1) = a(2) = 1;
a(n) = a(n - a(n-1)) + a(n - a(n-2)), n > 2.
第 100 項までは: 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 9, 10, 11,
11, 12, 12, 12, 12, 16, 14, 14, 16, 16, 16, 16, 20, 17, 17, 20, 21, 19, 20, 22,
21, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 24, 32, 24, 25, 30, 28, 26, 30, 30, 28, 32, 30,
32, 32, 32, 32, 40, 33, 31, 38, 35, 33, 39, 40, 37, 38, 40, 39, 40, 39, 42, 40,
41, 43, 44, 43, 43, 46, 44, 45, 47, 47, 46, 48, 48, 48, 48, 48, 48, 64, 41, 52,
54, 56. これらは Microsoft Excel® で offset
函数を用いて計算させた。
パンケーキの中にチョコチップとレーズンが混在しているとき, それがどんなに無茶苦茶な混ざり方をしていようとも, ただのナイフの一切りでケーキもチョコもレーズンも二等分できる。(Ham sandwich theorem: Borsuk-Ulam 対心点定理を用いて証明。証明は例えば小松, 中岡, 菅原「位相幾何学I」, 岩波, p. 494 例題 4.8)
四面体の 6 辺の長さを dij = dji (i, j = 0, 1, 2, 3) と置くと, その体積 V の平方は
.
一次元下げると (そうは見えないかもしれないが) Heron の公式を得る:
.
(佐武一郎: 線型代数学, 裳華房, 附録 §3, p. 266) これらを n 次元に拡張するのは容易であろう。
円に内接している四辺形の四辺の長さを a, b, c, d
とするとその円の半径は
[(ab + cd)(ac + bd)(ad + bc) / ((-a + b + c + d)(a - b + c + d)(a + b - c + d)(a
+ b + c - d))]1/2 = [(ab + cd)(ac + bd)(ad + bc)]1/2/(4S).
(S は面積)
相異なる 3 数 a, b, c について a(1 + c) = b(1 + a) = c(1 + b) が成り立つとすると, その値は -1 である。
今, n 個の互いに重さの異なる分銅と上皿天秤がある。分銅の重さは未知として, 最も重いものと二番目に重いものを最小手順で見分けるときに天秤を使う回数は最大で n - 1 + [log2 (n-1)] [回]。但しこの式の [x] は x を超えない最大の整数を表す (Gauß 記号)。
二次正方行列に関し A2 + B2 = 2AB ⇒ AB = BA (viz. 可換)。[安田亨, 数学セミナー (5), 1991]
次式を見て 30 秒で x
の多項式として簡単にしなさい。(但し, a, b, c, d
は相異なる実数):
(1) (x-b)(x-c)/((a-b)(a-c)) + (x-c)(x-a)/((b-c)(b-a)) + (x-a)(x-b)/((c-a)(c-b)).
(2) (x-b)(x-c)(x-d)/((a-b)(a-c)(a-d)) + (x-c)(x-d)(x-a)/((b-c)(b-d)(b-a)) + (x-d)(x-a)(x-b)/((c-d)(c-a)(c-b))
+ (x-a)(x-b)(x-c)/((d-a)(d-b)(d-c)).
(上記の正解は両方とも 1. 答えが分かったら恒等式の問題としてみると良く分かる。代数学要論, 養賢堂, 1955)