さて, 次の page で使う関係上, ここで, 正弦函数, 余弦函数の高階導函数 (或いは高次導函数) を求めておこう。高階導函数とは二階, 三階, 四階, ... という一つの函数を何回も微分した函数のことである。記号として, 函数 f(x) を n 階微分した函数を f(n)(x) と書くことだけ注意しておこう。例えば f(x) = f(0)(x), f'(x) = f(1)(x), f''(x) = f(2)(x), ... &c.
先ず f(x) = sin x として, これを微分しよう。すると f'(x) = cos x は公式からすぐに分かる (分からなければこれが公式)。もう一度微分すると f''(x) = -sin x も公式である。更に微分すると f'''(x) = -cos x, f''''(x) = sin x で元に戻るから, 以下繰り返し。ということは
f(n)(x) = sin x (n ≡ 0 (mod 4)), cos x (n ≡ 1 (mod 4)), -sin x (n ≡ 2 (mod 4)), -cos x (n ≡ 3 (mod 4))
ここで, n ≡ a (mod 4) とは n を 4 で割った余りが a ということである。
次に g(x) = cos x と置いて微分... と思ったら, もう既に cos x
が上に出ているから実際に微分しなくても答えはすぐ出る
(順番がずれるだけ)。実際:
g(n)(x) = cos x (n ≡ 0 (mod 4)), -sin x (n ≡ 1 (mod 4)), -cos x
(n ≡ 2 (mod 4)), sin x (n ≡ 3 (mod 4)).
これで必要なことは済んでいるが, 表記が面倒なので, 次のように表現することがある。
最初に f(x) = sin x について, f'(x) = cos x = sin(x + π/2) であることに注意すると, 明らかに f''(x) = cos(x + π/2) = sin (x + (π/2)×2). 当然 f'''(ｘ） = cos(x + π) = sin (x + (π/2)×3), ... であるから一般に f(n)(x) = sin(x + πn/2), n は整数, という形で書ける (注: 例えば f(-1)(x) = ∫f(x) dx (積分定数は 0) という形で拡張する)。
同様に g(x) = cos x についても, g(n)(x) = cos(x + πn/2), n は整数, という形で書ける。
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