ラマヌジャンの信じられない等式達

Wednesday, 19th April, 2000.


Srinivasa Ramanujan (1887--1920) はどうやって導き出すのか凡人には想像も出来ないような等式を突然出すことでも有名である。 ここでは, その幾つかを紹介しよう。中には簡単に証明出来るのもあるが, どうやって証明したらいいのか私には皆目見当のつかないものもある。

(21/3−1)1/3 = (1/9)1/3−(2/9)1/3 + (4/9)1/3,

(41/5 + 1)1/2 = (161/5 + 81/5 + 21/5−1)/51/2,

((3 + 2×51/4) / (3−2×51/4))1/4 = (51/4 + 1) / (51/4−1),

(51/3−41/3)1/2 = (21/3 + 201/3−251/3)/3,

(6a2−4ab + 4b2)3 + (3b2 + 5ab−5a2)3 = (6b2−4ab + 4a2)3 + (3a2 + 5ab−5b2)3,
(不定方程式 x3 + y3 = u3 + z3の有理数解は, Euler によって発見されているが, 自然数解の方の一般解は不明)

123 + 13 = 103 + 36,
(この数 1729 は二つの立方数の和として二通りに表せる最小の数である。)

1743 + 1333 = 453 + 146,

i = 0(i / (e2iπ−1)) = 1/24 − 1/ (8π),

i = 0(i13 / (e2iπ−1)) = 1/24,

φ(t) = ∫0(cos tx / (exp(2πx1/2)−1))dx (但しexp(x) = ex) と置くとき
φ(π) = (2−21/2)/8, φ(2π/3) = 1/3−31/2 (3/16− 1/ (8π)), φ(π/5) = (6 + 51/2)/4−(5×101/2)/8, &c.

Πi = 0(1 + exp(−(2i + 1)π×13531/2))
= 21/12exp(−π×13531/2/24) (((569+99×331/2)/8)1/2+((561+99×331/2)/8)1/2)1/2
×(((25+3×331/2)/8)1/2+((17+3×331/2)/8)1/2)1/2 (123+111/2)1/4 (10+3×111/2)1/8
×(26+15×31/2) 1/8,

Rogers-Ramanujan の恒等式[Rogers 1894, Ramanujan 1913]
1 +n= 1(xn*n / Πi = 1n(1 - xi)) = 1/Πn = 0((1 - x5n+2)(1 - x5n+4)),
1 +n= 1(xn(n+1) / Πi = 1n(1 - xi)) = 1/Πn = 0((1 - x5n+2)(1 - x5n+3)).

こういう等式を見ると, どうしたら証明出来るのだろうというよりも,「どないせいっちゅうねん」という気になるのは私だけではないようである。

円周率の謎の近似公式: (2143/22)1/4 ≒ 3.14159265 (258264612520603717964402).
(1/2√2)992/1103 ≒ 3.141592 (7300133056603139961890252).


参考資料
鹿野(かの)(たけし) 「ラマヌジャンと数」, 「分割数」, 数学セミナー (11), 1986.

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