Tuesday, 16th May, 2000.
半径 r の (中身の詰まった) 球の表面積をいつものように
(surface の略で) S, 体積をいつものように (volumeの略で) V
と書くことにする。良く知られていることは
V = Sr / 3
で, これは丁度錐体の体積の公式に似ていて,
球の表面を底面, 半径を高さと思ったものと同じである。このことは紀元前から知られていたのである。
このことの証明には現代流の説明をすれば,
図のように球の表面を細かに分割して (細かいことを言えば分割は一様にしないといけない), その底面積
(の細分) ΔS が段々小さくなるようにすれば細かく分割した錐体の部分の体積は
ΔS･r / 3 にほぼ近いから
V = limmaxΔS→0∑ΔS･r / 3 = Sr / 3
となるからである。
このことから, 球の表面積と体積はどちらか一方を求めれば自動的に他方も求まるということになるわけである。
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