問題: cos z = 2 となる複素数 z を求めよ。

cos z = (e^iz + e^-iz)/2 = 2 より
e^iz + e^-iz = 4.

ここで t = e^iz と置くと e^-iz = 1/t だから t + 1/t = 4. 両辺 t 倍して t² + 1 = 4t .即ち
t² - 4t + 1 = 0.

二次方程式の解の公式から t = 2±3^1/2. t を元に戻して e^iz = 2±3^1/2. ここで Euler の公式から z = x + iy と置くと
e^iz = e^ix-y = e^ixe^-y = e^-y(cos x + i sin x) = 2±3^1/2.

右辺には虚数部分がないので sin x = 0 即ち x = mπ, m は整数。

このとき (-1)^me^-y = 2±3^1/2 であるが y が実数であり, 右辺 > 0 であることから, 実は m は偶数で m = 2n, n は整数となる。

こうして e^-y = 2±3^1/2 だから -y = log(2±3^1/2) 即ち y = -log(2±3^1/2).

結局 z = x + iy = 2nπ - i log(2±3^1/2).

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