問題: sin z = 2 となる複素数 z を求めよ。
問題 1 と殆ど同じだから, 大分飛ばして書く。
sin z = (eiz - e-iz)/(2i) = 2 より t = eiz と置くと t2 - 4i t - 1 = 0. (係数に虚数が出てくるが, 気にせずにそのまま) 二次方程式の解の公式に入れて t = 2i±(-3)1/2 = 2i±31/2i = (2±31/2)i.
eiz = eix-y = eixe-y = e-y(cos x + i sin x) = (2±31/2)i.
今度は右辺に実数部分がないので cos x = 0. 即ち x = π/2 + mπ = (2m + 1)π/2, m は整数。
このとき (-1)me-y i = (2±31/2)i 即ち (-1)m e-y = 2±31/2 であるが, y が実数且つ右辺 > 0 より, m = 2n, n は整数である。
従って e-y = 2±31/2 より -y = log(2±31/2) 即ち y = -log(2±31/2).
以上より z = (4n + 1)π/2 - i log( 2±31/2).