問題: 2ⁱ (2 の i 乗) は幾つか ?

2^z = e^{z log 2} より 2ⁱ = e^{i log 2}.

ところで z = log 2 と置くと e^z = e^{x + iy} = e^xe^iy = e^x(cos y + i sin y) = 2. 右辺には虚数部が現れないので sin y = 0 即ち y = mπ, m は整数。

従って (-1)^me^x = 2. 従って m = 2n, n は整数, という形でなければならない。対数をとるとき紛らわしいので, 「実数値を取るのだよ」という事を強調して x = Log 2 と書くことにして (正確には主値という), 結局 log 2 = z = x + iy = Log 2 + 2nπi, n は整数。

代入して 2ⁱ = e^{i log 2} = e^{i(Log 2 + 2nπi )} = e^{i Log 2 - 2nπ} = e^-2nπ e^{i Log 2} = e^-2nπ(cos Log 2 + i sin Log 2).

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