![[和の図]](sp1.gif)
三角函数の加法定理を図形的に証明したので, ついでだから和を積に直す公式というのを紹介しよう。以前は高校でやったのに, 最近は教科書から駆逐されている。
公式は先ず正弦函数の加法定理
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β,
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
の辺々を加えると
sin(α + β) + sin(α - β) = 2sin α cos β
となる。又辺々の差を取ると
sin(α + β) - sin(α - β) = 2cos α sin β
となる。これらの両辺を 2
で割ったものを積を和に直す公式 (formulae of products to sums) という。
余談だが積を和に直す公式を見て Napier は対数というものを考えたのだという。
さて, 積を和に直す公式で x = α + β, y = α - β と置くと, α
= (x + y)/2, β = (x - y)/2 だから
sin x + sin y = 2sin((x + y)/2) cos((x - y)/2),
sin x - sin y = 2cos((x + y)/2) sin((x - y)/2)
を得る。これらが和を積に直す公式である。
同様に余弦函数の方の加法定理から
cos(α + β) + cos(α - β) = 2cosα cos β,
cos(α + β) - cos(α - β) = -2sin α sin β;
cos x + cos y = 2cos((x + y)/2) cos((x - y)/2),
cos x - cos y = -2sin((x + y)/2) sin((x - y)/2)
を得る。
さて, François Viète (ヴィエタ, 1540--1603) は正弦函数の和を積に直す公式を次のように証明した。
以下では簡単の為に円の半径を 1 とする。(こういう円を単位円 unit circle という)
AB = sin α, CD = sin β はすぐに分かる。
∠AOC = α + β だから, ∠AOH = (α + β)/2.
∴AC = 2AH = 2sin((α + β)/2).
同じ弧 A'C の中心角と円周角だから ∠CAA' = ∠COA'/2 = (α - β)/2.
従って
AC' = AC sin∠CAC' = 2sin((α + β)/2) sin((α - β)/2).
一方, AC' = AB + BC' = AB + DC = sin α + sin β.
これで証明出来たわけである。
同様に差の方は次の図による。
![[差の図]](sp2.gif)
概略は AC = 2sin( (α - β)/2) と ∠CAA' = ∠A'OB/2 = (α + β)/2 ということである。
尚, 余弦函数の方はトレミーの定理による三角函数の加法定理の証明のときのように, 余角の公式を用いる。