内心は inner centre, internal centre, center of incercle ともいう。傍心には別名はない。
先ず, OA と OB が同じ長さであるとき, 点 C を OC = OA + OB で決まる点とすると, 四辺形 OACB が菱形である為, OC が ∠ABC の二等分線であることに注意する。又, 辺の長さの記号の約束によって a = BC, b = CA, c = AB であることにも注意しておく。
内心は三頂角の二等分線の交点であるから内心を I と置くと, 今注意したことから, s を用いて
AI = s(AB / c + AC / b) = (s/c)AB + (s/b)AC
と書ける。同様に
BI = (t/c)BA +(t/a)BC = -(t/c)AB + (t/a)(AC - AB)
= -((a + c) / (ac))t AB + (t/a)AC
である。あとの方の式から
AI = AB + BI = [1 - ((a + c) / (ac))t] AB + (t/a)AC.
最初の式と最後の式を比較して (AB と AC
が一次独立だから)
s/c = 1 - ((a + c) / (ac))t,
s/b = t/a.
この第二式から t = as/b なので, これを第一式に代入して
s/c = 1 - ((a + c) / (ac))as/b = 1 - ((a + c) / (bc))s
[(a + b + c)/(bc)] s = 1
∴s = bc / (a + b + c).
これを最初の式に代入すると
AI = (b/(a + b + c))AB + (c/(a + b + c))AC.
位置ベクトルに直すと
i - a = (b/(a + b + c))(b - a) + (c/(a + b + c))(c
- a).
∴i = (1/(a + b + c))[bb - ba + cc - ca + (a + b +
c)a]
= (1/(a + b + c))[aa + bb + cc].
当初の予定では「傍心も同様」といって済ますつもりであったが, 結構難しそうである。「演習問題」と言って逃げておくことにする (^_^;
計算してみたら傍心は意外に簡単であった。 ∠A 内の傍心を E(e) として e を求めると
e = (1/(-a + b + c))[bb - ba + cc - ca + (-a + b + c)a]
= (1/(-a + b + c))[-aa + bb + cc]
となってこれも或る意味きれいな対称性を保っている。
Thursday, 21st August, 2003.
別の方法 (Monday 27th June, 2011)
AI を延長して辺 BC との交点を D とする。 ∠BAD = ∠BCD なので BD : DC = c : b.
従って AD = (bAB +
cAC)/(b + c) 且つ BD = ac/(b + c) である。
同様の理由によって AI : ID = AB : BD = c : ac/(b
+ c) = (b + c) : a.
従って, AI = ((b + c)/(a + b + c))AD = (bAB + cAC)/(a + b +
c).
以下同様。傍心に関しても同様の比例式が成り立つので, 同様に計算出来る。 (外分になるから - の符号が付く理由も分かる)
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