外心 circumcentre, centre of cricumcircle

Tuesday, 25th July, 2000.

各辺 AB, CA の中点を M, N とする。外心を便宜上 Q と置く。

二つの vectors AB, AC は明らかに一次独立である (平行でない) から, 実数 s, t を用いて
AQ = s AB + t AC……(1)
と書ける。

外心は各辺の垂直二等分線の交点であるから特に MQ⊥AB, NQ⊥AC.
従って
MQAB = (AQ - AM)・AB = (s AB + t AC - AB/2)・AB = (s - 1/2)AB2 + tABAC
= (s - 1/2)c2 + t bc cos A = 0.

同様に
NQAC = s bc cos A + (t - 1/2)b2 = 0.

従って s, t に関する連立方程式
c2 s + (bc cos A) t = c2/2,
(bc cos A) s + b2 t = b2/2
を得る。

いつものように S を △ABC の面積とすると, 連立方程式の左辺の係数行列の行列式は
b2c2 - (bc cos A)2 = b2c2(1 - cos2A) = b2c2sin2A = 4×((bc sin A)/2)2 = 4S2 (≠0)
であるから, (第二) 余弦公式 2bc cos A = b2 + c2 - a2 を用いて
s = (b2c2 - b3c cos A)/(8S2) = (2b2c2 - 2b3c cos A)/(16S2)
= b2(2c2 - 2bc cos A)/(16S2) = b2(2c2 - (b2 + c2 - a2))/(16S2)
= b2(c2 + a2 - b2)/(16S2).

同様に
t = c2(a2 + b2 - c2)/(16S2).

これらを (1) に代入して
AQ = [b2(c2 + a2 - b2) AB + c2(a2 + b2 - c2)) AC] /(16S2).

位置ベクトルで書き直して
q - a = [b2(c2 + a2 - b2)(b - a) + c2(a2 + b2 - c2))(c - a)]/(16S2).

q = [(16S2 - b2(c2 + a2 - b2) - c2(a2 + b2 - c2))a + b2(c2 + a2 - b2)b + c2(a2 + b2 - c2))c]/(16S2).

ここで a の係数の 16S2 倍に着目すると
16S2 - b2c2 - a2b2 + b4 - a2c2 - b2c2 + c4
= 16×((ac sin B)/2)2 - a2c2 - a2b2 - 2b2c2 + b4 + c4
= 4a2c2sin2B - a2c2 - a2b2 - 2b2c2 + b4 + c4
= 4a2c2(1 - cos2B) - a2c2 - a2b2 - 2b2c2 + b4 + c4
= 3a2c2 - (2ac cos B)2 - a2b2 - 2b2c2 + b4 + c4
= 3a2c2 - (a2 + c2 - b2)2 - a2b2 - 2b2c2 + b4 + c4 ……ここで, (第二) 余弦公式を用いた
= 3a2c2 - (a4 + c4 + b4 +2a2c2 - 2b2c2 - 2a2b2) - a2b2 - 2b2c2 + b4 + c4
= 3a2c2 - a4 - 2a2c2 + 2b2c2 + 2a2b2 - a2b2 - 2b2c2
= a2b2 + a2c2 - a4
= a2(b2 + c2 - a2).

以上から結局
q = [a2(b2 + c2 - a2)a + b2(c2 + a2 - b2)b + c2(a2 + b2 - c2))c]/(16S2).
(素晴らしく美しい対称性 !)


Tuesday, 23rd December, 2003 に サイボロ 氏より, 次の様にも表現できるとのご指摘を受けた。

a2(b2 + c2 - a2)
= a2(2bc cos A) … (第二) 余弦公式
= 2a2bc cos A
= 2a・abc cos A
= 2(2R sin A)abc cos A … 正弦公式
= 2R abc・2sin A cos A
= 2R abc sin 2A.

同様に b2(c2 + a2 - b2) = 2R abc sin 2B, c2(a2 + b2 - c2) = 2R abc sin 2C である。

辺々加えて

2R abc (sin 2A + sin 2B + sin 2C)
= a2(b2 + c2 - a2) + b2(c2 + a2 - b2) + c2(a2 + b2 - c2)
= -a4 + 2a2(b2 + c2) - (b + c)2(b - c)2
= -(a4 - 2a2(b2 + c2) + (b + c)2(b - c)2)
= -(a2 - (b + c)2)(a2 - (b - c)2)
= -(a - b - c)(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)
= (-a + b + c)(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)
= 16S2. … Heron の公式

だから

q = (a sin 2A + b sin 2B + c sin 2C)/(sin 2A + sin 2B + sin 2C).
[これも亦美しい対称性!]


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