垂心 orthocentre

頂点 C, B から対辺 (またはその延長上) に降ろした垂線の足を各々 P, Q とする。

垂心を H と置くとき, 外心のときと同様に AH = sAB + tAC と書ける。

図より AP = ((b cos A)/c)AB であるから
PH = AH - AP = (s - ((b cos A)/c))AB + tAC.
PH・AB = (s - ((b cos A)/c))c² + (bc cos A)t = 0.

同様にして
QH・AC = (bc cos A)s + (t - ((c cos A)/b))b² = 0.

従って次の連立方程式を得る:
c²s + (bc cos A)t = bc cos A = (b² + c² - a²)/2,
(bc cos A)s + b²t = (b² + c² - a²)/2.

左辺側は外心のときと同様であるから
s = ((b² + c² - a²) / 8S²)(b² - bc cos A)
= ((b² + c² - a²) / 16S²)(2b² - 2bc cos A)
= ((b² + c² - a²) / 16S²)(a² + b² - c²).

t = ((b² + c² - a²) / 8S²)(- bc cos A + c²)
= ((b² + c² - a²) / 16S²)(2c² - 2bc cos A)
= ((b² + c² - a²) / 16S²)(c² + a² - b²).

故に
AH = (b² + c² - a²)[(a² + b² - c²)AB + (c² + a² - b²)AC]/16S²

h = [(a² + b² - c²)(c² + b² - a²)(b - a) + (b² + c² - a²)(c² + a² - b²)(c - a) + 16S²a]/16S².

ここでも外心のときのように a の係数の 16S² 倍のみに着目すると
16S² - (a² + b² - c²)(c² + b² - a²) - (b² + c² - a²)(c² + a²)
= 16S² - (b² + (a² - c²))(b² - (a² - c²)) - (c² + (b² - a²))(c² - ( b² - a²))
= 16S² - (b⁴ - a⁴ - c⁴ + 2a²c²) - (c⁴ - b⁴ - a⁴ + 2a²b²)
= 16S² + 2a⁴ - 2a²c² - 2a²b²
= 4a²c²sin²B + 2a⁴ - 2a²c² - 2a²b²
= 4a²c²(1 - cos²B) + 2a⁴ - 2a²c² - 2a²b²
= 2a⁴ + 2a²c² - 2a²b² - (2ac cos B)²
= 2a⁴ + 2a²c² - 2a²b² - (a² + c² - b²)²
= 2a⁴ + 2a²c² - 2a²b² - (a⁴ + b⁴ + c⁴ - 2a²b² - 2b²c² + 2c²a²)
= a⁴ - b⁴ - c⁴ + 2b²c²
= a⁴ - (b² - c²)²
= (a² - b² + c²)(a² + b² - c²).

以上より
h = [(c² + a² - b²)(a² + b² - c²)a +(a² + b² - c²)(b² + c² - a²)b + (b² + c² - a²)(c² + a² - b²)c]/16S².
(再び美しい対称性 !)

こちらに関しても外心と同様 Wednesday, 24th December, 2003 に サイボロ 氏より, 次の様にも表現できるとのご指摘を受けた。

正接を用いる関係上, 最初から直角三角形は除外する。

第二余弦公式と正弦公式によって

(c² + a² - b²)(a² + b² - c²)
= 4a²bc cos B cos C
= 8Rabc sin A cos B cos C
= 8Rabc tan A cos A cos B cos C.

他も同様である。 これらから

8Rabc (tan A + tan B + tan C)cos A cos B cos C
= (c² + a² - b²)(a² + b² - c²) + (a² + b² - c²)(b² + c² - a²) + (b² + c² - a²)(c² + a² - b²)
= c²(a² + b² - c²) + a⁴ - b⁴ - a²c² + b²c²
 +a²(b² + c² - a²) + b⁴ - c⁴ - a²b² + a²c²
 +b²(c² + a² - b²) + c⁴ - a⁴ - b²c² + a²b²
=  c²(a² + b² - c²) + a²(b² + c² - a²) + b²(c² + a² - b²)
= 16S².

(最後の所は, 外心の所を見よ)

となるので, 結局

h = (a tan A + b tan B + c tan C)/(tan A + tan B + tan C)

を得る。 (亦も美しい対称性!)

前へ
次へ
三角形の五心の目次へ
Miscellaneous の index へ
HOME