直角三角形の組み合わせによる方法

次の図で証明してみよう。

先ず AC = 1 と置く。

△CAE で, CE = cos β, AE = sin β である。

次に △ADE で, AE = AD sin α であるから, sin β = AD sin α, 即ち
AD = sin β / sin α. 従って AE = cos α sin β / sin α.

故に DC = DE + EC = (cos α sin β + sin α cos β) / sin α.

△CDE で, 先ず
CB = CD sin α = cos α sin β + sin α cos β,
DB = DC cos α = (cos² α sin β + sin α cos α cos β) / sin α
であるが, CB = sin(α + β), AB = cos(α + β) でもあるから

sin(α + β) = cos α sin β + sin α cos β,
cos(α + β) = DB - AD = (cos² α sin β + sin α cos α cos β) / sin α - sin β / sin α
= (cos² α sin β - sin β + sin α cos α cos β) / sin α
= (sin α cos α cos β - (1 - cos² α) sin β) / sin α
= (sin α cos α cos β - sin² α sin β) / sin α
= cos α cos β - sin α sin β.

同様に次の図を考えよう

簡単の為に又 AC = 1 とすると, △ABC で AB = cos α, BC = sin α.

△DBC で, DC sin β = BC = sin α であるから, DC = sin α / sin β.
従って DB = DC cos β = sin α cos β / sin β.

よって, AD = DB - AB = sin α cos β / sin β - cos α = (sin α cos β - cos α sin β) / sin β.
ここで △DEA で
AE = AD sin β = sin α cos β - cos α sin β,
DE = AD cos β = (sin α cos² β - cos α  cos β sin β) / sin β.

一方 △AEC で
AE = AC sin(α - β) = sin(α - β),
EC = AC cos(α - β) = cos(α - β)
なので
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β,
cos(α - β) = EC = DC - DE
= sin α / sin β - (sin α cos² β - cos α  cos β sin β) / sin β
= (sin α - sin α cos² β + cos α cos β sin β) / sin β
= (sin α (1 - cos² β) + cos α cos β sin β) / sin β
= (sin α sin² β + cos α cos β sin β) / sin β
= sin α sin β + cos α cos β = cos α cos β + sin α sin β.

前へ
次へ
三角函数の加法定理の目次へ
Miscellaneous の index へ
HOME