Euler の方法

De Moivre の定理は, 虚数, 或いは複素数の三角法の全く新しい世界への鍵であった。

Euler は現在知られているような Taylor 展開による方法によって前述の関係式
e^ix = cos x + i sin x
を得たのではないとの指摘が似鳥氏より BBS にてなされた。ここでは Euler が「無限解析序説」に載せているという方法を紹介する。結局現代的な厳密な証明が最初に誰によってなされたかは, 調べがつかなかった。各種文献に, それが出ていないのは, 先取権という観点からすれば, Euler にそれを帰せば充分であるからかもしれない。

先ず, 三角比を習えば誰でも習う (所謂ピュタゴラスの定理の変形である)
cos²x + sin²x = 1
から始める。念のために言っておくと sin²x = (sin x)² を意味するのであった。

この式の左辺を虚数単位 i を使って無理やり因数分解する (と書いたが, 三次方程式の解の公式の作り方等を見ると, 極めて自然なやり方であることが分かる)。
cos²x + sin²x = (cos x)² - (-sin²x) = (cos x)² - (i sin x)² = (cos x + i sin x)(cos x - i sin x).

これを見ながら, 第二因子を (- じゃなくて + にしてから) x じゃなくて y にしたらどうなるだろうか ? というのは極めて自然な発想である。やってみると, 加法公式が成り立つから
(cos x + i sin x)(cos y + i sin y)
= cos x cos y - sin x sin y + i (sin x cos y + cos x sin y)
= cos(x + y) + i sin(x + y)
が成立する。そして (cos x - i sin x)(cos y - sin y) = cos(x + y) - i sin(x + y) も同様に確かめられる。そこで x にも y にも z を代入すると
(cos z ± i sin z)² = cos 2z ± i sin 2z (復号同順)
が得られる。同様に
(cos z ± i sin z)³ = (cos z ± i sin z)²(cos z ± i sin z)
= (cos 2z ± i sin 2z)(cos z ± i sin z) = cos 3z ± i sin 3z (復号同順)
などなどと繰り返していくと, de Moivre の公式 (ド・モアブル, イギリス, 1667--1754, 「級数と求積に関する解析雑録」, London, 1730)
(cos z ± i sin z)ⁿ = cos nz ± i sin nz (復号同順, n は整数)
が数学的帰納法により証明できる。

De Moivre の公式の + の方と - の方を連立方程式と思って辺々を加え, 或いは引くと
cos nz = ((cos z + i sin z)ⁿ + (cos z - i sin z)ⁿ)/2,
sin nz = ((cos z + i sin z)ⁿ - (cos z - i sin z)ⁿ)/(2i)
を得る。

さて, a > 1 を定数としよう。よく知られているように a⁰ = 1 であるから, ε を無限小の量とすると δ = a^ε - 1 も無限小の量である (無限小の量という意味が分からない人は, 誤差に近い極めて小さい量と考えれば良い)。ここで k = (a^ε - 1)/ε と置けば, これは有限確定の量 (実際には log a = lim_ε→0(a^ε - 1)/ε) である。この式を変形して
a^ε = 1 + kε
である。ここで ω によって
a^εω = (1 + kε)
と書ける。特に z を有限確定量として, ω = z/ε と置くと ε は無限小量だったから, ω は無限大量になる。これから逆に ε = z/ω. 再び代入すると
a^z = (1 + (kz/ω))^ω
を得る。

さてここで Newton (1665) によって既に得られていた二項定理
(a + b)ⁿ = Σ_{r = 0}ⁿ _nC_r a^n-rb^r
を用いて右辺を展開すると (面倒なので Σ を用いないで最初の数項だけ書くと...)
a^z = (1 + (kz/ω))^ω
= 1 + (ω/1)(kz/ω) + (ω(ω - 1)/2!)(kz/ω)² + (ω(ω - 1)(ω - 2)/3!)(kz/ω)³ + ……
= 1 + kz/1 + (ω - 1)/(2!ω))(kz)² + ((ω - 1)(ω - 2)/(3!ω²))(kz)³ + ……
ここで ω が無限大量だったことを思い出すと
 (ω - 1)/ω = 1, (ω - 2)/ω = 1, ...
であるから結局
a^z = 1 + kz/1 + (kz)²/2! + (kz)³/3! + ……
特に e^ε = 1 + ε となるように定数 e > 1 を選ぶと e^z = 1 + z/1 + z²/2! + z³/3! + …… でよく知られている自然対数の底である。

一寸寄り道してしまったが, 元に戻すと, 結局無限大量 ω によって
e^z = (1 + (z/ω))^ω
であることが分かったわけである。これを元にして
cos nz = ((cos z + i sin z)ⁿ + (cos z - i sin z)ⁿ)/2,
sin nz = ((cos z + i sin z)ⁿ - (cos z - i sin z)ⁿ)/(2i)
を見直す。即ち w = nz を有限確定値とし, n を無限大量 ω にすれば, z = w/n = w/ω は無限小量となる。これらを代入すると無限小量 z に関し cos z = 1, sin z = z が成立する (後者については, 良く lim_x→0(sin x / x) = 1 の証明をするときのような図を書いて説明されている) ことから
cos w = [(cos z + i sin z)^ω + (cos z - i sin z)^ω]/2
= [(1 + i z)^ω + (1 - i z)^ω]/2 = [(1 + i w/ω)^ω + (1 - i w/ω)^ω]/2
= (e^iw + e^-iw)/2
を, 同様に
sin w = (e^iw - e^-iw)/(2i)
を得る。これらから前のように辺々加えることによって
e^iw = cos w + i sin w
を得る。

上記を読んでいくと「無限小量 z に関し cos z = 1, sin z = z が成立する」というところが標準解析的には救いがたく, 厳格ではない (Robinson の超準解析的には極めて当然ではある)。

Euler 全集 I-8, p. 148 の脚注には Goldbach 宛ての書簡 (9th December, 1741 付け) に
(2ⁱ + 2^-i)/2 = cos log 2
又別の (8th May, 1742 付け) 書簡には
(a^pi + a^-pi) = 2 cos (p log a)
に相当する式が出ているということである。

尚, de Moivre の公式
cos nz = ((cos z + i sin z)ⁿ + (cos z - i sin z)ⁿ)/2,
sin nz = ((cos z + i sin z)ⁿ - (cos z - i sin z)ⁿ)/(2i)
を二項展開してから, そこに於いて 「w = nz を有限確定値とし, n を無限大量 ω にすれば, z = w/n = w/ω は無限小量となり, これらを代入すると無限小量 z に関し cos z = 1, sin z = z が成立する」ことを用いて一寸頑張れば, sin x と cos x に関する前述の Taylor 展開を得ることができる。これも Euler が「無限解析序説」に書いていることである。

参考文献:
高瀬正仁: dx と dy の解析学・オイラーに学ぶ, 数学セミナー (4), 1999--(4), 2000.
Leonhardt Euler, スイス自然科学者協会編: オイラー全集, Birkheuser, から, 「無限解析序説」, 1748 (原文ラテン語)。