円周率の出てくる公式 (承前)

Friday, 28th April, 2000.

その他円周率の出てくる公式

(1) Viète の公式 (1593): 2/π = (Ö2 /2)(Ö(2 + Ö2)/2)(Ö(2 +Ö(2 + Ö2)))….

因みにこの公式は, sin x = 2sin(x/2) cos(x/2), sin(x/2) = 2sin(x/22) cos(x/22), sin(x/22) = 2sin(x/24) cos(x/24), ......, sin(x/2n-1) = 2sin(x/2n) cos(x/2n) から逐次代入していって

sin x = 2ncos(x/2) cos(x/22) cos(x/24) …… cos(x/2n) sin(x/2n)

となるので sin x / (2n sin(x/2n)) = cos(x/2) cos(x/22) cos(x/24) …… cos(x/2n) = Πk=1n cos(x/2k). 従ってここで n→∞ として sin x / x = Πk=1∞cos(x/2k). この式に x = π/2 を代入すると得られる。

(2) John Wallis (1616--1703) (1655):

π = 2Πk=1∞(4n2/(4n2 - 1)), Öπ = lim n→∞[(2n(n!))2/((2n)! Ön)].

(3) Sir Isaac Newton (25th December 1642--20th March 1727) (1655--1666):

π = 3Ö3/4 + 24(1/ (3･22) - 1/ (5･25) - Σn=0∞[(2n-1)!! / ((n + 1)! (2n + 5) n3n + 5)]).

ここで (2n - 1) !! = 1･3･5･…･(2n - 1).

(4) James Gregory (1638--1675) (1671), Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz (1st July 1646--14th November 1716) (1674):

π/4 = Σn=0∞[(-1)n/ (2n + 1)] (= arctan 1, 収束がかなり遅い)。

黒川信重氏が数学セミナー (10), 2003 の 「オイラーと三つのアイディア」 で述べているところに拠れば, 実はこれは 1400 年頃インドのマーダヴァが発見したのが最初であるということである。

(5) シャープ (1699):

π/6 = (1/Ö3)Σn=0∞[(-1)n/ (3n(2n + 1))] (= arctan (1/Ö3)).

(6) C. Hutton (1776): π/4 = 3arctan (1/4) + arctan (5/99).

(7) 建部(たけべ)賢弘(かたひろ) (1722, 41桁): (資料によって計算法が違うのだが)

π2 = 9(1 +Σn=1∞[2･(n!)2 / (2n)!]) = 36Σn=1∞[((2n)!!)2 / ((2n)!22n-1)].

後ろの方は Euler が 1737 に求めた次の公式に x = 1/2 を代入して求めたものである。

(arcsin x)2 /2 = Σn=1∞[((2n)!!)2 x2n / (2n)!].

これらで (2n)!! = 2･4･6･…･(2n).

(8) 松永良弼(よしすけ) (1739, 51 桁):

π = 3(1 + Σn=1∞[2((2n - 1)!!)2 / (2n + 4)!!]).

(9) Johann Heinrich Lambert (1728--1777):

[正則連分数展開]

(10) ベイリー, ボルウェイン, プルーフェ (1995):

π = Σn=0∞[16-n (4 / (8n + 1) - 2 / (8n + 4) - 1 / (8n + 5) ) - 1 / (8n + 6))].

(11) その他の無限級数

π = 3 + 4Σi=1∞[(-1)i-1 / (2i (2i + 1)(2i + 2))] = 2Σi=0∞[(2i)! / (4i(i!)2(2i + 1))].

ζ(n) =Σi=1∞[1/in] (Riemann の zeta 函数) と置くと ζ(2n) = (2π)2n B2n / (2 (2n)!), Bnは Bernoulli 数。
例えば ζ(2) = π2/ 6, ζ(4) = π4/ 90, ζ(6) = π6/ 945.

α(n) = Σi=1∞[1 / (2i - 1)n] と置くと α(2n) = (22n - 1)π2n B2n / (2 (2n)!)。
例えば α(2) = π2 / 8, α(4) =π4/ 96, α(6) = π6 / 960.

β(n) = Σi=1∞[(-1)i-1 / in] と置くと β(2n) = (22n-1 - 1)π2nB2n / (2n)!。
例えば β(2) = π2 / 12, β(4) = 7π4 / 720, β(6) =31π6 / 30240.

ε(n) = Σi=1∞[(-1)i-1 / (2i - 1)n] と置くと ε(2n + 1) = π2n + 1 E2n / (22n + 2 (2n)!), 但し Enは Euler 数。
例えば ε(1) = π / 4, ε(3) = π3 / 32, ε(5) = 5π5 / 1526, ε(7) = 61π7 / 92160.

Σn=1∞[sin (2n - 1)x / (2n - 1)] = ±π / 4 (複号は 0 < x < π の時 +, π < x < 2 πの時 -).

Σn=1∞[cos nx / n2] = (x - π)2 / 4 - π2 / 12, (0 ≦ x ≦ 2π).

次の 2 式では定数 a は整数でないとする。

Σn=1∞[(-1)n-1 cos nx / (n2-a2)] = π cos ax / (2a sin aπ) - 1 / (2a2), (-π≦ x ≦π).

Σn=1∞[(-1)n-1 sin nx / (n2-a2)] = π sin ax / (2 sin aπ), (-π < x < π).

Γ(x) = ∫0∞e-ttx-1dt と置くとき, Γ(n + 1) = n! であるが, 特に Γ(1/2) =π1/2.

(12) 出自の分からない公式

「小数点以下 120 億桁の値」 という page に不思議な公式が乗っている。 検証に使った公式は Ramanujan の公式のようである。

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