(第二) 余弦公式による方法

(第二) 余弦公式とは普通の高校の教科書で「余弦定理」として言及されているもの。 高校の教科書以外では「定理」という言葉を使っているのを見たことがない。

一応公式を述べておくと, いつものように △ABC の三つの角を各々 A, B, C とし, それらの対辺を各々 a, b, c とするとき
a² = b² + c² - 2bc cos A, &c.
というもの。因みに, 勿論, 第一余弦公式というのもあって, これは
a = b cos C + c cos B, &c.
というもの。第二余弦公式は古くから知られており, (cos は使用されていないが) ユークリッドの「原論」II, Prop. 12 & 13 に本質的に同じ内容の定理が述べられている。(三角形の相似のみを使っている)

閑話休題。
先ず (余弦公式だけに) 余弦の方から証明しよう。

上の図で CH = 1 とすると
BC = 1 / cos β, CA = 1 / cos α
であるので,
AB = AH + HB = (sin α / cos α) + (sin β / cos β)
= [sin α cos β + cos α sin α] / (cos α cos β).

△ABC に於て第二余弦公式を適用すると
AB² = AC² + BC² - 2AC･AB cos C
([sin α cos β + cos α sin β] / (cos α cos β))² = (1 / cos² α) + (1 / cos² β) - 2cos(α + β)/(cos α cos β).
∴2cos(α + β)
= (cos² α + cos² β)/(cos α cos β) - (sin² α cos² β + cos² α sin² β + 2sin α cos α sin β cos β)/(cos α cos β)
= (cos² α + cos² β - sin² α cos² β - cos² α sin² β - 2sin α cos α sin β cos β)/(cos α cos β)
= [(cos² α (1 - sin² β) + cos² β (1 - sin² α) - 2sin α cos α sin β cos β]/(cos α cos β)
= (cos² α cos² β + cos² β cos² α - 2sin α cos α sin β cos β)/(cos α cos β)
= 2(cos α cos β - sin α cos α).
両辺 (最初と最後) を 2 で割って, 加法定理を得る。

正弦の方は正弦公式を用いる。正弦公式は sin という概念がなかったのでさすがに Euclid 原論には出ていないようである。

同じ図で AC = cos β とすると
AH = sin α cos β, CH = cos α cos β.
∴HB = cos α cos β tan β = cos α sin β.
∴AB = AH + HB = sin α cos β + cos α sin β.

正弦公式より
AB / sin∠ACB = BC / sin A.

一方 BC = CH / cos β = cos α なので
sin(α + β) = sin∠ACB = AB sin A / BC
= (sin α cos β + cos α sin β) sin (∠R - α) / cos α
= sin α cos β + cos α sin β.

同様に次の図で差の方が得られる。(証明省略)

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