Ptolemy の定理による方法

Wednesday, 28th June, 2000.

Ptolemy (トレミー, Claudios Ptolemaios, 85?--165?) の定理はもともとこの三角函数の加法定理を証明する為のものであったということである。正弦 (sine) の方しか直接には証明できないが, 余弦 (cosine) なんてのは, 当時認知度が低かったので, これで良かったのであろう。 (と言うか cosine と言うのは sine of complement, 余角の正弦というのが語源だというから当然なのだった)

Ptolemy の定理は, 一寸不思議な定理なので, 読者諸氏はあまりご存知ないであろうとの想定のもと, 定理の紹介とその証明をする。

定理[Ptolemy]

円に 内接する四角形 ABCD で
AB・CD + BC・DA = AC・BD. …… (*)

[円に内接する四角形]

証明:
図のように線分 BC 上の点 E を∠BAE = ∠CAD となるように採る。これと所謂円周角定理から (同一弧 AD の円周角で)∠ABE = ∠ACD であるから, 二角が等しいので △ABE ∽ △ACD (相似)。従って AB : AC = BE : CD。外項と内項の積が等しいという性質を用いて
AB・CD = AC・BE …… (1).

一方
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = ∠ABD + ∠CAD = ∠ABE + ∠BAE
= ∠AED (最後は △ABE の外角であることを用いた)
であり (或いは ∠BAC = ∠BAE + ∠EAC = ∠CAD + ∠EAC = ∠EAD の方でもいい), 円周角定理から (同一弧 AB の円周角で) ∠BCA = ∠EDA であるから, 二角相等により△ABC ∽ △AED. 従って BC : DE = AC : AD. だから
BC・AD = AC・DE …… (2).

(1) + (2) から
AB・CD + BC・DA = AC・BE + AC・DE = AC・(BE + DE) = AC・BE.■

尚, この定理の逆も成立するが, 証明はとても難しい。

さていよいよ三角函数の加法定理の証明に移ろう。

[和の図]

最初に AC を直径とする円を描いて Ptolemy の定理の公式 (*)
AB・CD + BC・DA = AC・BD の両辺を AC2 で割ると
(AB/AC)・(CD/AC) + (BC/AC)・(DA/AC) = BD/AC.
Thales (タレス) の定理 (直径の上に立つ円周角は直角である) によって図にあるように ∠ABC = ∠ADC = ∠R であるので, α = ∠CAD, β = ∠BAC と置くと, 定義から
cos β sin α + sin β cos α = BD/AC.

一方, 正弦公式 (或いは正弦定理) より
BD/sin∠BAD = 2R = AC.
∴ BD/AC = sin∠BAD = sin (α + β).

従って sin (α + β) = cos β sin α + sin β cos α.

[差の図]

次に BC を直径として Ptolemy の定理の公式 (*)
AB・CD + BC・DA = AC・BD の両辺を BC2 で割ると
(AB/BC)・(CD/BC) + (DA/BC) = (AC/BC)・(BD/BC).
上と同様にして α = ∠ABC, β = ∠DBC と置くと, 明らかに α > β で
cos α sin β + DA/BC = sin α cos β.

再び正弦公式により
AD/sin (α - β) = 2R = BC.
∴AD/BC = sin (α - β).

従って cos α sin β + sin (α - β) = sin α cos β.
即ち sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β.

[余角]

尚, cos の方は余角 (complement) の公式を用いる。

上の図で sin∠BAC = cos∠ABC, だが∠BAC = ∠R - ∠ABC で, 同時に ∠ABC = ∠R - ∠BAC だから
sin(∠R - ∠ABC) = cos∠ABC, cos(∠R - ∠BAC) = sin∠BAC.
これらが余角の公式である。

これらを用いて
cos (α + β) = sin (∠R - (α + β)) = sin ((∠R - α) - β)
=sin(∠R - α) cos β - cos(∠R - α) sin β (以下略).
といった具合である。


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