素朴な方法

最も素朴な方法は何かというと, 直角三角形と直角三角形をいわば積み重ねてしまうのがそうだと思われるのだが, いかがであろうか。ここではそれを用いて, 証明しよう。

図で, AC = 1 としよう (計算を簡単にする為)。このとき,
sin (α+β) = CB / AC …… 定義
= CB = CG + GB = CG + EF
(四角形 BFEG は長方形だから) であるから, 知りたいのは CG と EF である。

先ず, sin α = EF / AE だから (以下ここの議論は省略)
EF = AE sin α = (AC cos β)sin α = sin α cos β.

GE || AF だから錯角で ∠GED = ∠EAF = α.
且つ ∠ECG = ∠R - ∠CDE = ∠R - ∠GDE = ∠GED = α. (∠R は直角 right angle)

というわけで
CG = CE sin∠ECG = CE cos α = (AC sin β)cos α = cos α sin β.

以上より
sin (α+β) = CG + EF = cos α sin β + sin α cos β.

同様にして
cos (α+β) = AB / AC = AF - BF = AF - GE
= AE cos α - CE sin ∠ECG = (AC cos β) cos α - (AC sin β) sin α
= cos α cos β - sin α sin β.

今度も簡単の為に図で AC = 1 とすると
sin (α-β) = CB / AC = CB = DE - DF.

明らかに
DE = AD sin α = (AC cos β) sin α = sin α cos β.

又,
DF = DC cos∠CDF = (AC sin β) cos (∠R - ∠ADE)
= sin β cos ∠DAE = sin β cos α = cos α sin β.

以上より
sin (α-β) = DE - DF = sin α cos β - cos α sin β.

同様にして
cos (α-β) = AB / AC = AB = AE + EB
AD cos α + FC = (AC cos β) cos α + DC sin∠CDF
= cos α cos β + (AC sin β) sin α = cos α cos β + sin α sin β.

尚 + の方だけの加法定理から,
sin α = sin ((α-β) +β) = sin (α-β) cos β + cos (α-β) sin β,
cos α = cos ((α-β) +β) = cos (α-β) cos β - sin (α-β) sin β
だからこれらから sin (α-β), cos (α-β) について連立方程式として解くことによって - の方の加法定理を出すこともできる。

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