頂点 A を基準とすると, 辺 BC の中点の位置ベクトルは
AM = (AB + AC) / 2
である。(太字は vectors であることを一寸注意しておこう)
さて, 良く知られているように, 重心は中線を
(対辺の中点と頂点との方向に) 1 : 2
の比に内分するのであるから, 重心を G と置けば
AG = 2AM / 3 = (AB + AC) / 3.
位置ベクトルに直せば
g - a = (b - a + c - a) /3 = (-2a
+ b + c) / 3
∴g = (-2a
+ b + c) / 3 + a = (a
+ b + c) / 3.
(これは容易に四面体にも拡張されて, その場合 g = (a + b + c + d) / 4 となる)
...という証明じゃ一寸ひどいから, 一寸別の証明:
辺 AB
の中点 N と, 点 G と, 頂点 C が同一直線上にあることから CG
= kCN という k がある。同様に, 辺 AC の中点 L と, 点 G と, 頂点
B が同一直線上にあることから BG = mBL という m
がある。
これらから
AG - AC = k(AN - AC) = k(AB / 2 - AC) =
(k/2)AB - kAC,
AG - AB = m(AL - AB) = m(AC / 2 - AB) = -mAB
+ (m/2)AC.
即ち
AG =
(k/2)AB + (1 - k)AC = (1 - m)AB + (m/2)AC.
ここで AB と AC は一次独立である (平行でない) ことから
k/2 = 1 - m, 1 - k = m/2.
解いて, k = m = 2/3. ∴AG = (1/3)AB + (1/3)AC = … (以下最初の方と同様)
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