外心 circumcentre, centre of cricumcircle

各辺 AB, CA の中点を M, N とする。外心を便宜上 Q と置く。

二つの vectors AB, AC は明らかに一次独立である (平行でない) から, 実数 s, t を用いて
AQ = s AB + t AC……(1)
と書ける。

外心は各辺の垂直二等分線の交点であるから特に MQ⊥AB, NQ⊥AC.
従って
MQ・AB = (AQ - AM)・AB = (s AB + t AC - AB/2)・AB = (s - 1/2)AB² + tAB・AC
= (s - 1/2)c² + t bc cos A = 0.

同様に
NQ・AC = s bc cos A + (t - 1/2)b² = 0.

従って s, t に関する連立方程式
c² s + (bc cos A) t = c²/2,
(bc cos A) s + b² t = b²/2
を得る。

いつものように S を △ABC の面積とすると, 連立方程式の左辺の係数行列の行列式は
b²c² - (bc cos A)² = b²c²(1 - cos²A) = b²c²sin²A = 4×((bc sin A)/2)² = 4S² (≠0)
であるから, (第二) 余弦公式 2bc cos A = b² + c² - a² を用いて
s = (b²c² - b³c cos A)/(8S²) = (2b²c² - 2b³c cos A)/(16S²)
= b²(2c² - 2bc cos A)/(16S²) = b²(2c² - (b² + c² - a²))/(16S²)
= b²(c² + a² - b²)/(16S²).

同様に
t = c²(a² + b² - c²)/(16S²).

これらを (1) に代入して
AQ = [b²(c² + a² - b²) AB + c²(a² + b² - c²)) AC] /(16S²).

位置ベクトルで書き直して
q - a = [b²(c² + a² - b²)(b - a) + c²(a² + b² - c²))(c - a)]/(16S²).

∴q = [(16S² - b²(c² + a² - b²) - c²(a² + b² - c²))a + b²(c² + a² - b²)b + c²(a² + b² - c²))c]/(16S²).

ここで a の係数の 16S² 倍に着目すると
16S² - b²c² - a²b² + b⁴ - a²c² - b²c² + c⁴
= 16×((ac sin B)/2)² - a²c² - a²b² - 2b²c² + b⁴ + c⁴
= 4a²c²sin²B - a²c² - a²b² - 2b²c² + b⁴ + c⁴
= 4a²c²(1 - cos²B) - a²c² - a²b² - 2b²c² + b⁴ + c⁴
= 3a²c² - (2ac cos B)² - a²b² - 2b²c² + b⁴ + c⁴
= 3a²c² - (a² + c² - b²)² - a²b² - 2b²c² + b⁴ + c⁴ ……ここで, (第二) 余弦公式を用いた
= 3a²c² - (a⁴ + c⁴ + b⁴ +2a²c² - 2b²c² - 2a²b²) - a²b² - 2b²c² + b⁴ + c⁴
= 3a²c² - a⁴ - 2a²c² + 2b²c² + 2a²b² - a²b² - 2b²c²
= a²b² + a²c² - a⁴
= a²(b² + c² - a²).

以上から結局
q = [a²(b² + c² - a²)a + b²(c² + a² - b²)b + c²(a² + b² - c²))c]/(16S²).
(素晴らしく美しい対称性 !)

Tuesday, 23rd December, 2003 に サイボロ 氏より, 次の様にも表現できるとのご指摘を受けた。

a²(b² + c² - a²)
= a²(2bc cos A) … (第二) 余弦公式
= 2a²bc cos A
= 2a・abc cos A
= 2(2R sin A)abc cos A … 正弦公式
= 2R abc・2sin A cos A
= 2R abc sin 2A.

同様に b²(c² + a² - b²) = 2R abc sin 2B, c²(a² + b² - c²) = 2R abc sin 2C である。

辺々加えて

2R abc (sin 2A + sin 2B + sin 2C)
= a²(b² + c² - a²) + b²(c² + a² - b²) + c²(a² + b² - c²)
= -a⁴ + 2a²(b² + c²) - (b + c)²(b - c)²
= -(a⁴ - 2a²(b² + c²) + (b + c)²(b - c)²)
= -(a² - (b + c)²)(a² - (b - c)²)
= -(a - b - c)(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)
= (-a + b + c)(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)
= 16S². … Heron の公式

だから

q = (a sin 2A + b sin 2B + c sin 2C)/(sin 2A + sin 2B + sin 2C).
[これも亦美しい対称性!]

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