頂点 C, B から対辺 (またはその延長上) に降ろした垂線の足を各々 P, Q とする。
垂心を H と置くとき, 外心のときと同様に AH = sAB + tAC と書ける。
図より AP = ((b cos A)/c)AB であるから
PH = AH - AP = (s - ((b cos A)/c))AB
+ tAC.
PH・AB = (s - ((b cos A)/c))c2 + (bc cos A)t = 0.
同様にして
QH・AC = (bc cos A)s + (t - ((c cos A)/b))b2 = 0.
従って次の連立方程式を得る:
c2s + (bc cos A)t = bc cos A = (b2 + c2 - a2)/2,
(bc cos A)s + b2t = (b2 + c2 - a2)/2.
左辺側は外心のときと同様であるから
s = ((b2 + c2 - a2) / 8S2)(b2 -
bc cos A)
= ((b2 + c2 - a2) / 16S2)(2b2 -
2bc cos A)
= ((b2 + c2 - a2) / 16S2)(a2 + b2 - c2).
t = ((b2 + c2 - a2) / 8S2)(-
bc cos A + c2)
= ((b2 + c2 - a2) / 16S2)(2c2 -
2bc cos A)
= ((b2 + c2 - a2) / 16S2)(c2 + a2 - b2).
故に
AH = (b2 + c2 - a2)[(a2 + b2 - c2)AB
+ (c2 + a2 - b2)AC]/16S2
h = [(a2 + b2 - c2)(c2 + b2 - a2)(b - a) + (b2 + c2 - a2)(c2 + a2 - b2)(c - a) + 16S2a]/16S2.
ここでも外心のときのように a の係数の 16S2
倍のみに着目すると
16S2
- (a2 + b2 - c2)(c2 + b2 - a2)
- (b2 + c2 - a2)(c2 + a2)
= 16S2
- (b2 + (a2 - c2))(b2 - (a2 - c2))
- (c2 + (b2 - a2))(c2 - ( b2 - a2))
= 16S2
- (b4 - a4 - c4 + 2a2c2)
- (c4 - b4 - a4 + 2a2b2)
= 16S2
+ 2a4 - 2a2c2 - 2a2b2
= 4a2c2sin2B
+ 2a4 - 2a2c2 - 2a2b2
= 4a2c2(1 - cos2B)
+ 2a4 - 2a2c2 - 2a2b2
= 2a4 + 2a2c2 - 2a2b2 -
(2ac cos B)2
= 2a4 + 2a2c2 - 2a2b2 -
(a2 + c2 - b2)2
= 2a4 + 2a2c2 - 2a2b2 -
(a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2b2c2
+ 2c2a2)
= a4 - b4 - c4 + 2b2c2
= a4 - (b2 - c2)2
= (a2 - b2 + c2)(a2 + b2 - c2).
以上より
h = [(c2 + a2 - b2)(a2 + b2 - c2)a
+(a2 + b2 - c2)(b2 + c2 - a2)b
+ (b2 + c2 - a2)(c2 + a2
- b2)c]/16S2.
(再び美しい対称性 !)
こちらに関しても外心と同様 Wednesday, 24th December, 2003 に サイボロ 氏より, 次の様にも表現できるとのご指摘を受けた。
正接を用いる関係上, 最初から直角三角形は除外する。
第二余弦公式と正弦公式によって
(c2 + a2 - b2)(a2 + b2 - c2)
= 4a2bc cos B cos C
= 8Rabc sin A cos B cos C
= 8Rabc tan A cos A cos B cos C.
他も同様である。 これらから
8Rabc (tan A + tan B + tan C)cos A cos B cos C
= (c2 + a2 - b2)(a2 + b2 - c2)
+ (a2 + b2 - c2)(b2 + c2 - a2)
+ (b2 + c2 - a2)(c2 + a2
- b2)
= c2(a2 + b2 - c2) + a4 -
b4 - a2c2 + b2c2
+a2(b2 + c2 - a2) + b4
- c4 - a2b2 + a2c2
+b2(c2 + a2
- b2) + c4 - a4 - b2c2 +
a2b2
= c2(a2 + b2 - c2) + a2(b2
+ c2 - a2) + b2(c2 + a2
- b2)
= 16S2.
(最後の所は, 外心の所を見よ)
となるので, 結局
h = (a tan A + b tan B + c tan C)/(tan A + tan B + tan C)
を得る。 (亦も美しい対称性!)
前へ
次へ
三角形の五心の目次へ
Miscellaneous の index へ
HOME