垂心 orthocentre

Tuesday, 25th July, 2000.

頂点 C, B から対辺 (またはその延長上) に降ろした垂線の足を各々 P, Q とする。

垂心を H と置くとき, 外心のときと同様に AH = sAB + tAC と書ける。

[垂心の図]

図より AP = ((b cos A)/c)AB であるから
PH = AH - AP = (s - ((b cos A)/c))AB + tAC.
PHAB = (s - ((b cos A)/c))c2 + (bc cos A)t = 0.

同様にして
QHAC = (bc cos A)s + (t - ((c cos A)/b))b2 = 0.

従って次の連立方程式を得る:
c2s + (bc cos A)t = bc cos A = (b2 + c2 - a2)/2,
(bc cos A)s + b2t = (b2 + c2 - a2)/2.

左辺側は外心のときと同様であるから
s = ((b2 + c2 - a2) / 8S2)(b2 - bc cos A)
= ((b2 + c2 - a2) / 16S2)(2b2 - 2bc cos A)
= ((b2 + c2 - a2) / 16S2)(a2 + b2 - c2).

t = ((b2 + c2 - a2) / 8S2)(- bc cos A + c2)
= ((b2 + c2 - a2) / 16S2)(2c2 - 2bc cos A)
= ((b2 + c2 - a2) / 16S2)(c2 + a2 - b2).

故に
AH = (b2 + c2 - a2)[(a2 + b2 - c2)AB + (c2 + a2 - b2)AC]/16S2

h = [(a2 + b2 - c2)(c2 + b2 - a2)(b - a) + (b2 + c2 - a2)(c2 + a2 - b2)(c - a) + 16S2a]/16S2.

ここでも外心のときのように a の係数の 16S2 倍のみに着目すると
16S2 - (a2 + b2 - c2)(c2 + b2 - a2) - (b2 + c2 - a2)(c2 + a2)
= 16S2 - (b2 + (a2 - c2))(b2 - (a2 - c2)) - (c2 + (b2 - a2))(c2 - ( b2 - a2))
= 16S2 - (b4 - a4 - c4 + 2a2c2) - (c4 - b4 - a4 + 2a2b2)
= 16S2 + 2a4 - 2a2c2 - 2a2b2
= 4a2c2sin2B + 2a4 - 2a2c2 - 2a2b2
= 4a2c2(1 - cos2B) + 2a4 - 2a2c2 - 2a2b2
= 2a4 + 2a2c2 - 2a2b2 - (2ac cos B)2
= 2a4 + 2a2c2 - 2a2b2 - (a2 + c2 - b2)2
= 2a4 + 2a2c2 - 2a2b2 - (a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2b2c2 + 2c2a2)
= a4 - b4 - c4 + 2b2c2
= a4 - (b2 - c2)2
= (a2 - b2 + c2)(a2 + b2 - c2).

以上より
h = [(c2 + a2 - b2)(a2 + b2 - c2)a +(a2 + b2 - c2)(b2 + c2 - a2)b + (b2 + c2 - a2)(c2 + a2 - b2)c]/16S2.
(再び美しい対称性 !)


こちらに関しても外心と同様 Wednesday, 24th December, 2003 に サイボロ 氏より, 次の様にも表現できるとのご指摘を受けた。

正接を用いる関係上, 最初から直角三角形は除外する。

第二余弦公式と正弦公式によって

(c2 + a2 - b2)(a2 + b2 - c2)
= 4a2bc cos B cos C
= 8Rabc sin A cos B cos C
= 8Rabc tan A cos A cos B cos C.

他も同様である。 これらから

8Rabc (tan A + tan B + tan C)cos A cos B cos C
= (c2 + a2 - b2)(a2 + b2 - c2) + (a2 + b2 - c2)(b2 + c2 - a2) + (b2 + c2 - a2)(c2 + a2 - b2)
= c2(a2 + b2 - c2) + a4 - b4 - a2c2 + b2c2
 +a2(b2 + c2 - a2) + b4 - c4 - a2b2 + a2c2
 +b2(c2 + a2 - b2) + c4 - a4 - b2c2 + a2b2
=  c2(a2 + b2 - c2) + a2(b2 + c2 - a2) + b2(c2 + a2 - b2)
= 16S2.

(最後の所は, 外心の所を見よ)

となるので, 結局

h = (a tan A + b tan B + c tan C)/(tan A + tan B + tan C)

を得る。 (亦も美しい対称性!)


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